(2002•大连)如图,P为x轴正半轴上一点,半圆P交x轴于A、B两点,交y轴于C点,弦AE
分别交OC、CB于D、F.已知
=
,
(1)求证:AD=CD;
(2)若DF=
,tan∠ECB=
,求经过A、B、C三点的抛物线的解析式;
(3)设M为x轴负半轴上一点,OM=
AE,是否存在过点M的直线,使该直线与(2)中所得的抛物线的两个交点到y轴距离相等?若存在,求出这条直线的解析式;若不存在,请说明理由.
考点分析:
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(2002•东城区)已知如图,一次函数的图象经过第一,二,三象限,且与反比例函数的图象交于A,B两点,与y轴交于点C,OB=
,tan∠DOB=
(1)求反比例函数的解析式;
(2)设点A的横坐标为m,△ABO的面积为S,求S与m的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;
(3)当△OCD的面积等于
,试判断过A、B两点的抛物线在x轴上截得的线段长能否等于3?如果能,求此时抛物线的解析式;如果不能,请说明理由.
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(2002•鄂州)已知抛物线y=
mx
2-2mx+4m-
与x轴的两个交点的坐标为A(x
1,0),B(x
2,0)(x
l<x
2),且x
12+x
22=34.
(1)求m,x
1,x
2的值;
(2)在抛物线上是否存在点C,使△ABC是一个顶角为120°的等腰三角形?若存在,请求出所有点C的坐标;若不存在,请说明理由.
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(2002•广西)已知抛物线y=-x
2+2mx+4.
(1)求抛物线的顶点坐标(用含m的式子表示);
(2)设抛物线与x轴相交于A、B两点,且
,求抛物线的函数解析式,并画出它的图象;
(3)在(2)的抛物线上是否存在点P,使∠APB等于90°?如果不存在,请说明理由;如果存在,先找出点P的位置,然后再求出点P的坐标.
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(2002•贵阳)如图,在直角坐标系xOy中,二次函数图象的顶点坐标为C(4,-
),且在x轴上截得的线段AB的长
为6.
(1)求二次函数的解析式;
(2)设抛物线与y轴的交点为D,求四边形DACB的面积;
(3)在x轴上方的抛物线上,是否存在点P,使得∠PAC被x轴平分?如果存在,请求出P点的坐标;如果不存在,请说明理由.
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(2004•呼和浩特)阅读下列材料:
如图1,⊙O
1和⊙O
2外切于点C,AB是⊙O
1和⊙O
2外公切线,A、B为切点,
求证:AC⊥BC
证明:过点C作⊙O
1和⊙O
2的内公切线交AB于D,
∵DA、DC是⊙O
1的切线
∴DA=DC.
∴∠DAC=∠DCA.
同理∠DCB=∠DBC.
又∵∠DAC+∠DCA+∠DCB+∠DBC=180°,
∴∠DCA+∠DCB=90°.
即AC⊥BC.
根据上述材料,解答下列问题:
(1)在以上的证明过程中使用了哪些定理?请写出两个定理的名称或内容;
(2)以AB所在直线为x轴,过点C且垂直于AB的直线为y轴建立直角坐标系(如图2),已知A、B两点的坐标为(-4,0),(1,0),求经过A、B、C三点的抛物线y=ax
2+bx+c的函数解析式;
(3)根据(2)中所确定的抛物线,试判断这条抛物线的顶点是否落在两圆的连心O
1O
2上,并说明理由.
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