Question

（2002•达州）如图，O是∠ABC的边BA上一点，以O为圆心的圆与角的另一边BC相切于点D，交BO于点E，F是OA上一点，过F作FG⊥AB，交BC于点G，BD=2，sin∠ABC=，设OF=x，四边形EDGF的面积为y．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）在直角平面坐标系内画出这个函数的大致图象；
（3）这个函数的图象与经过点（1，）的正比例函数的图象有无交点？若有交点，求出交点坐标；若无交点，试说明理由．

Answer

（1）连接OD，则由切线性质可得OD⊥BC，作EH⊥BD垂足为H，由sin∠ABC=，可知∠ABC=30°，图形中就有三个30°的直角三角形，分别是△BEH、△BOD和△BGF，先解△BOD，由BD=2，可求OD、OB、BE，再解△BEH，可求EH及△BED的面积，由于OF=x，则BF可表示出来，解Rt△BGF，可表示FG及△BGF的面积，用S四边形EDGF=S△BGF-S△BDE即可；
（2）画图象时，要注意抛物线对称轴，顶点坐标，与坐标轴的交点及自变量的取值范围；
（3）由点（1，）可得正比例函数关系式，与二次函数解析式联立，解方程组即可．
【解析】
（1）连接OD，则OD⊥BC，
∴△BOD是直角三角形，由sin∠ABC==，设OD=m，则OB=2m，
在Rt△OBD中，BO2=BD2+OD2；即（2m）2=（2）2+m2，
∴OD=m=2，OB=2m=4，
∴BE=OB-OE=OB-OD=4-2=2，BF=OB+OF=4+x．
作EH⊥BD垂足为H，则∠BHE=∠BDO=90°，
∴EH∥OD，
∵BE=OE，BH=HD，
∴EH=OD．
又∵S△OBD=BD•OD=×2×2=2，
∴S△BED=S△OBD=，
∵GF⊥AB，∴∠BDO=∠BFG=90°，
又∵∠DBO=∠FBG，
∴△OBD∽△GBF，
，
即
∴S△GBF=（4+x）2-
即y=（4+x）2-．

（2）所求函数的大致图象如图所示．

（3）设正比例函数为y=kx
∵这个正比例函数的图象经过点（1，）．
∴=k×1，
∴k=
∴这个正比例函数是y=x．
解方程组，
得，
，
∴这个正比例函数与（1）中函数的图象有两个交点，
其坐标分别为（-2，）、（-5，-）．