Question

（2002•河南）如图所示，在Rt△ABC中，AB=AC，∠A=90°，点D为BC上任一点，DF⊥AB于F，DE⊥AC于E，M为BC的中点，试判断△MEF是什么形状的三角形，并证明你的结论．

Answer

根据已知，利用SAS判定△AEM≌△BFM，从而得到EM=FM；根据角之间的关系可求得∠EMF=90°，即△MEF是等腰直角三角形．
【解析】
△MEF是等腰直角三角形．证明如下：
连接AM，
∵M是BC的中点，∠BAC=90°，AB=AC，
∴AM=BC=BM，AM平分∠BAC．
∵∠MAC=∠MAB=∠BAC=45°．
∵AB⊥AC，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴DE∥AB，DF∥AC．
∵∠BAC=90°，
∴四边形DFAE为矩形．
∴DF=AE．
∵DF⊥BF，∠B=45°．
∴∠BDF=∠B=45°．
∴BF=FD，∠B=∠MAE=45°，
∴AE=BF．
∵AM=BM
∴△AEM≌△BFM（SAS）．
∴EM=FM，∠AME=∠BMF．
∵∠AMF+∠BMF=90°，
∴∠AME+∠AMF=∠EMF=90°，
∴△MEF是等腰直角三角形．