Question

（2002•黑龙江）已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h₁、h₂、h₃，△ABC的高为h．
“若点P在一边BC上（如图1），此时h₃=0，可得结论h₁+h₂+h₃=h”
请直接应用上述信息解决下列问题：
（1）当点P在△ABC内（如图2），（2）点P在△ABC外（如图3）这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，h₁、h₂、h₃与h之间的关系如何？请写出你的猜想，不需证明．

Answer

（1）当点P在△ABC内时，结论h1+h2+h3=h仍然成立．过点P作BC的平行线，交AB于G，交AC于H，交AM于N，则运用题目结论得出h1+h2=AN，再根据矩形的性质即可得出结论；
（2）当点P在△ABC外时，结论h1+h2+h3=h不成立．此时，它们的关系是h1+h2-h3=h．过点P作BC的平行线，交AB的延长线于G，交AC的延长线于H，交AM的延长线于N，则运用题目结论得出h1+h2=AN，再根据矩形的性质即可得出结论．
【解析】
（1）当点P在△ABC内时，结论h1+h2+h3=h仍然成立．
理由如下：过点P作BC的平行线，交AB于G，交AC于H，交AM于N，则可得结论h1+h2=AN．
∵四边形MNPF是矩形，
∴PF=MN，即h3=MN．
∴h1+h2+h3=AN+MN=AM=h，
即h1+h2+h3=h．

（2）当点P在△ABC外时，结论h1+h2+h3=h不成立．此时，它们的关系是h1+h2-h3=h．
理由如下：过点P作BC的平行线，与AB、AC、AM分别相交于G、H、N，则可得结论h1+h2=AN．
∵四边形MNPF是矩形，
∴PF=MN，即h3=MN．
∴h1+h2-h3=AN-MN=AM=h，
即h1+h2-h3=h．