Question

（2002•广州）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=3，O是AB的中点，OP⊥AB交AC于点P．
（1）证明线段AO、OB、OP中，任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度；
（2）过线段OB（包括端点）上任一点M，作MN⊥AB交AC于点N．如果要使线段AM、MB、MN中任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度，那么请求出线段AM的长度的取值范围．

Answer

（1）利用相似三角形的性质求得个线段的长即可；
（2）根据相似三角形的性质得比例式，列不等式即可求得．
【解析】
（1）∵∠B=90°，OP⊥AB，
∴∠AOP=∠B=90°，
∴△AOP∽△ABC．∴
∵AB=4，BC=3，O是AB的中点．
∴
∴OP=
∵OP=＜AO=OB=2，且+2＞2．
∴OP+AB＞OB
即AO，BO，OP中，任意两条线段的长度之和大于第三条线段的长度．
∵∠B=90°，OP⊥AB
∴OP∥BC
∵O是AB的中点，
∴OP是△ABC的中位线．
∴OP=BC
∵BC=3
∴OP=；

（2）当M在OB上时，设AM=x（2≤x≤4）
则MB=4-x，
∵△AMN∽△ABC
∴
∴MN=x
又MN＜AM，MB＜AM
∴MN+MB＞AM，
∴x+（4-x）＞x
∴x＜
∴AM的取值范围为2≤AM＜．