Question

（2002•上海）已知；如图，AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，直线CM、DN分别切半圆于点C、D，且分别和直线AB相交于点M、N．
（1）求证：MO=NO；
（2）设∠M=30°，求证：MN=4CD．

Answer

（1）连接CO、DO，则有OC=OD，且OC⊥CM，OD⊥DN，易证△MCO≌△NDO，故MO=NO；
（2）先证△OCD为等边三角形，CD=OC，Rt△MCO中，OC=OA，∠M=30°，故MA=AO=OC，同理可得NB=OB=OC，故MN=4CD．
证明：（1）连接CO、DO，
则有OC=OD，且OC⊥CM，OD⊥DN，
∴∠ODC=∠OCD，∠MCO=∠NDO=90°．
又∵CD∥AB，
∴∠OCD=∠MOC，∠ODC=∠NOD．
∴△MCO≌△NDO．
∴MO=NO．

（2）∵∠M=30°，
∴∠AOC=60°．
又∵AB∥CD，
∴∠OCD=60°．
∴△OCD为等边三角形．
∴CD=OC．
又∵Rt△MCO中，OC=OA，∠M=30°，
∴MA=AO=OC．
同理可得NB=OB=OC，
∴MN=4CD．