Question

（2002•广西）如图1，AD是Rt△ABC的斜边BC上的高，AB=AC，⊙O过A、D两点并分别交AB、AC于E、F，连接EF交AD于G，分别连接ED、DF．
（1）填空，直接写出图中至少三对相似而不全等的三角形，它们是______；
（2）填空，直接写出图中所有的全等三角形，它们是______，并且写出线段AE、AF、AB间的关系式______；
（3）如图2，当圆心O的位置移到△ABC的外面，⊙O分别与BA、AC的延长线交于点E'，F'时，分别连接E'F'、E'D、DF'，线段AE′、AF′、AB间有什么关系？请证明你的结论．

Answer

（1）AB=AC，且∠BAC=90°，因此∠BAC=∠CAB=∠A=∠B=45°，也就能得出弧ED=弧DF，因此DE=DF，由于∠EAF=90°，那么EF就是圆的直径，那么∠EDF也是直角，因此△EDF也是个等腰直角三角形，所以△EDF∽△CAD∽△BAD∽△ABC，而△AEG，△DGF以及△EGD，△AFG可以通过对顶角和同弧所对的圆周角相等来得出相似，本题的相似三角形较多，只要能得出两组对应角相等的就都可以（前提是不全等）；
（2）AD是等腰直角三角形斜边上的高，因此AD分成的两个小等腰直角三角形就全等，因为∠DFC是圆内接四边形AEDF的外角，因此∠DFC=∠AED，又有∠BAD=∠C=45°，且AD=DC，那么△AED≌△CFD，同理可证得△BDE≌△ADF，由△AED≌△CFD，我们可得出AE=FC，因此AC=AE+AF=AB．
（3）方法同（2）得出AE'=F'C后，AC+AE'=AF'，即AB+AE'=AF'，AB=AF'-AE'．
【解析】
（1）△AEG∽△FDG，△AGF∽△EGD，△DEF∽△ABC（答案不唯一，只要正确都可以）．

（2）△ABD≌△ACD；△BDE≌△ADF；△CDF≌△ADE；AE+AF=AB．

（3）AB=AF'-AE'．
证明：连接DF'，
∵△ABC是等腰直角三角形，AD是斜边上的高
∴∠B=∠BAD=∠DCA=45°
∴∠E'AD=∠DCF'=135°
∵∠AE'D=∠CF'D，AD=DC
∴△E'AD≌△F'CD
∴AE'=CF'，
∴AF'=AC+CF'=AE'+AC，
∵AB=AC
∴AB=AF'-AE'．