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(2002•宜昌)如图1,已知BC是圆O的直径,线段RQ∥BC,A是RQ上的任意...

(2002•宜昌)如图1,已知BC是圆O的直径,线段RQ∥BC,A是RQ上的任意一点,AF与圆O相切于点F,连接AB与圆O相交于点M,D是AB上一点,AD=AF,DE垂直于AB并与AC的延长线交于点E.
(1)当点A处于图2中A的位置时,AC与圆O相切于点C,求证:△ADE≌△ACB;
(2)当点A处于图3中A1的位置时,A1F:A1E=1:2,manfen5.com 满分网.求角BCA1的大小;
(3)图1中,若BC=4,RQ与BC的距离为3,那么△ADE的面积S与点A的位置有没有关系,请说明理由.
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(1)由于AF、AC都是圆的切线,由切线长定理知:AF=AC,由此可得AD=AC,再加上公共角∠BAE、一组直角,即可证得所求的三角形全等. (2)连接CM,则CM⊥A1B,已知A1F:A1E=1:2,即A1D:A1E=1:2,由此可求得∠DA1E=60°,∠A1CM=30°;首先用未知数表示出A1C、BC的长,在Rt△A1CM中,根据∠MA1C的度数可表示出CM的值,进而可在Rt△BCM中,根据CM、BC的值求出∠BCM的度数,由此得解. (3)此题应分两种情况讨论: ①如图2的情况,即AE与圆相切,此时△ABC≌△ADE,因此△ADE的面积等于△ABC的面积; ②如图1、3的情况,即AE与圆相交,设AE与圆的另一个交点为N,连接BN、CM,由CM∥DE可得:CM:DE=AM:AD=AM:AF, 由切线长定理:AF2=AM×AB,由于A点在直线PQ上运动,所以△ABC的面积是不变的,因此△ADE的面积也不变,即S与A的位置无关. (1)证明:∵AF、AC都是圆的切线, ∴AF=AC, 又∵AF=AD,∴AC=AD; ∵∠DAE=∠CAB,∠EDA=∠BCA=90°, ∴△ADE≌△ACB. (2)【解析】 连接CM,则CM⊥A1B; ∵A1F=A1D,且A1F:A1E=1:2, ∴A1D:A1E=1:2,即∠MA1C=60°,∠A1CM=30°; 设A1C=x,则CM=x,BC=x; 在Rt△BCM中,BC:CM=x:x=:1, ∴∠BCM=45°, ∴∠BCA1=∠BCM+∠A1CM=75°. (3)【解析】 ①当AE与圆相切时,由(1)可知:△ADE≌△ACB, 此时S△ADE=S△ABC; ②当AE与圆相交时,设AE与圆的另一个交点为N,连接BN,CM; 由CM∥DE可得:CM:DE=AM:AD=AM:AF, 由切线长定理:AF2=AM×AB, 得:AM:AF=AF:AB, ∴CM:DE=AF:AB, ∴AF•DE=AB•MC, ∴AD•DE=AB•MC, ∴AD•DE=AB•MC=S△ABC, 由于A点在平行于AB的直线上运动,因此△ABC的面积为定值,且S△ABC=×4×3=6; 故△ADE的面积S与A的位置无关,且恒为6.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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