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(2002•南通)已知:如图,AB是⊙O的直径,AB=AC,BC交⊙O于点D,D...

(2002•南通)已知:如图,AB是⊙O的直径,AB=AC,BC交⊙O于点D,DE⊥AC,E为垂足.
(1)求证:∠ADE=∠B;
(2)过点O作OF∥AD,与ED的延长线相交于点F,求证:FD•DA=FO•DE.

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(1)连接OD,证明OD⊥EF,得出EF是⊙O的切线,根据切线的性质得出结论; (2)通过证明△FDO∽△DEA,得出对应的比例,证明结论. 【解析】 (1)方法一: 证明:连接OD, ∵OA=OD, ∴∠OAD=∠ODA. ∵AB是⊙O的直径, ∴∠ADB=90°,即AD⊥BC. 又∵AB=AC, ∴AD平分∠BAC,即∠OAD=∠CAD. ∴∠ODA=∠DAE=∠OAD. ∵∠ADE+∠DAE=90°, ∴∠ADE+∠ODA=90°,即∠ODE=90°,OD⊥DE. ∵OD是⊙O的半径, ∴EF是⊙O的切线. ∴∠ADE=∠B. 方法二: ∵AB是⊙O的直径, ∴∠ADB=90°,又DE⊥AC, ∴∠DEA=90°, ∴∠ADB=∠DEA, ∵△ABC中,AB=AC,AD⊥BC, ∴AD平分∠BAC,即∠DAE=∠BAD. ∴△DAE∽△BAD. ∴∠ADE=∠B. (2)证明:∵OF∥AD, ∴∠F=∠ADE. 又∵∠DEA=∠FDO(已证), ∴△FDO∽△DEA. ∴FD:DE=FO:DA,即FD•DA=FO•DE.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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