Question

（2002•黄石）如图，已知⊙O的圆心在坐标原点，半径为2，过圆上一点T（，）的切线交x轴于A点，交y轴于B点．
（1）求OA、OB的长；
（2）在切线AB上取一点C，以C为圆心，半径为r的⊙C与⊙O外切于P点，两圆的内公切线PM交OT的延长线于M，过M点作⊙C的切线MN，切点为N．求证：MN=TC且MN∥TC；
（3）若（2）中的⊙C的圆心在AB上移动且始终与⊙O外切（即r在变化），N点坐标为（x，y），问N点的坐标x，y能否写成与r无关的关系式？若能，请写出关系式；若不能，请说明理由．

Answer

（1）根据点T的坐标知：∠TOA=45°，由于BA切⊙O于T，则OT⊥BA，故∠OAB=∠OBA=45°，过T作TG⊥x轴于G，则TG=OG=GA=，由此可求得OA、OB的长．
（2）由于PM是两圆的公切线，则MP⊥OC，而OP、OT都是⊙O的半径，易证得Rt△MOP≌Rt△COT，得MP=TC，由切线长定理知MP=MN，即可得到TC=MN；由上述全等三角形还可得OM=OC都等于两圆的半径和，则MT=CN，易知∠MTC=∠MNC=90°，即可证得MN∥TC（可连接MC，通过证三角形全等得MN、TC的内错角相等）．
（3）设MN与x轴的交点为D，过N作NH⊥x轴于H，由（2）MN∥TC知∠TMN=90°，则△MOD、△HND都是等腰直角三角形，那么OD=OH+HN=x+y，而OD=OM，OM等于两圆的半径和，联立上述两式可得x、y、r的第一个关系式；易求得MN的长，即TC的长，可在Rt△OTC中，根据勾股定理得到另外一个x、y、r的关系式，联立两式即可得到x、y的关系式．
（1）【解析】
过T作TG⊥x轴于G；
∵T点坐标（），
∴OG=GT=，
∴∠TOG=45°，
∴∠OAB=45°，
即△AOB是等腰直角三角形，
∴OA=OB=．

（2）证明：∵PM是两圆的内公切线，
∴MP⊥OC，
∴Rt△MOP≌Rt△COT，
∴MP=CT；
又MN、MP是⊙C的切线长，
∴MP=MN，
∴MN=TC ①，
又由上，得OC=MO，
∴r+2=MT+2，MT=r；
∵CN=r，
∴MT=NC，
∵∠MNC=∠MTC=90°，
∴MN∥TC②，
∴MN=TC．

（3）【解析】
能写成与r无关的式子，设直线MN交x轴于D，过N作NH⊥x轴于H；
由（1）、（2）可知，△OMD、△NHD都是等腰直角三角形，
∴OD=OH+HD=OH+HN=x+y，即OD=x+y；
又OD=（2+r），
∴x+y=①，
MN=MD-ND=OM-ND=（2+r）-y，
即MN=（2+r）-y；
在Rt△OTC中，
由OT2+TC2=OC2，又TC=MN，
∴22+[（2+r）-y]2=（2+r）2②；
由①，得2+r=，代入②得：4+[-]2=（）2，
解得xy=2，y=．