Question

（2002•杭州）如图，⊙O₁与⊙O₂外切于点C，⊙O₁与⊙O₂的连心线与外公切线相交于点P，外公切线与两圆的切点分别为A、B，且AC=4，BC=5．
（1）求线段AB的长；
（2）证明：PC²=PA•PB．

Answer

（1）由题意可知AO1和BO2平行，根据同旁内角互补，可知∠AO1O2+∠BO2O1=180°，根据两个三角形内角和为360°，且O1A=O1C，O2B=O2C，可知∠ACO1+∠BCO2=90°，然后根据勾股定理求出AB；
（2）证明PC2=PA•PB，即证△PAC∽△PCB，而在这两个三角形中已经有一个公共角∠P，只需再找一组角即可，根据（1）可得等角的余角相等，可知∠PCA=∠PBC，即可知相似，然后得出等积式．
（1）【解析】
PAB切⊙O1与⊙O2与A、B，
∴AO1⊥PA，BO2⊥PB
∴AO1∥BO2
∴∠AO1O2+∠BO2O1=180°
又在△AO1C和△BO2C中，内角和为360°
∴∠O1AC+∠O1CA+∠O2BC+∠O2CB=180°
∵O1A=O1C，O2B=O2C
∴∠O1AC=∠O1CA，∠O2BC=∠O2CB
∴∠ACO1+∠BCO2=90°
∴∠ACB=90°
∴在RT△ABC中，AB=；

（2）证明：由（1），知∠ACO1+∠BCO2=90°
而∠O2BC=∠O2CB，且∠O2BC+∠CBA=90°
∴∠PCA=∠PBC
又∠P为公共角
∴△PAC∽△PCB
∴
即PC2=PA•PB．