Question

（2002•朝阳区）已知：如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，点E、F分别在AB、AC的延长线上，EF交⊙O于点M、N，交AD于点H，H是OD的中点，，EH-HF=2．设∠ACB=a，tana=，EH和HF是方程x²-（k+2）x+4k=0的两个实数根．
（1）求EF和HF的长；
（2）求BC的长．

Answer

（1）根据根与系数的关系，可以得到EH+HF=k+2②，EH•HF=4k＞0③，再结合已知EH-HF=2，可求k的值，再把k的值代入方程，解方程可求EH、HF，从而可求EH；
（2）连接BD、CD，由于AD是直径，根据垂径定理可知，AD⊥EF，再利用同角的余角相等，可知∠E=∠1，再利用圆周角的性质，可知∠E=∠1=∠α，从而tan∠E=，结合EH=8，可求AH，再利用勾股定理可求AE，在Rt△AHF中，利用勾股定理可求AF，在Rt△ABD中，由于tan∠1=，可设AB=3m，BD=4m，利用勾股定理可知AD=5m，而H是OD中点，从而AD=AH，由于AH=6，可求AD、m的值，从而可求AB，利用∠α=∠E，再加上一个公共角，可证△ABC∽△AFE，可得比例线段，容易求出BC．
【解析】
（1）依题意，及一元二次方程根与系数关系，得
△=[-（k+2）]2-4×4k＞0，①
EH+HF=k+2，②
EH•HF=4k＞0，③
又EH-HF=2④
由②、③、④得k=12，
当k=12时，①成立．
把k=12代入原方程解得x1=8，x2=6，
∴EH=8，HF=6．

（2）解法一：
连接BD，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD=90°，
∵∠1=∠a，
∵，
∴AD⊥EF，即∠AHE=∠AHF=90°，
∴∠E=∠1=∠a，
在Rt△AEH中，tanE==tana=，又EH=8，
∴AH=6，
由勾股定理得AE=10，
在Rt△AHF中，AH=HF=6，
由勾股定理得AF=6
在Rt△ABD中，tan∠1==tana=，
设AB=3m，则BD=4m，由勾股定理得AD=5m
∵H是OD的中点，
∴AH=AD
∴AD=AH=×6=8
∴5m=8，解得m=，
∴AB=3m=，
∵∠E=∠a，∠BAC=∠FAE，
∴△ABC∽△AFE
∴
∴BC=；
解法二：
同解法一求出AE=10，AD=8
连接CD，
∵AH=HF，且AH⊥HF，
∴∠HAF=∠F=45°
∵AD为⊙O直径，
∴∠ACD=90°，∠ADC=45°
∴AC=AD•sin∠ADC=AD•sin45°=4，

以下同解法一求得BC=．