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(2002•无锡)已知:如图,矩形ABCD中,AB=2,AD=3,E、F分别是A...

(2002•无锡)已知:如图,矩形ABCD中,AB=2,AD=3,E、F分别是AB、CD的中点.
(1)在边AD上取一点M,使点A关于BM的对称点C恰好落在EF上.设BM与EF相交于点N,求证:四边形ANGM是菱形;
(2)设P是AD上一点,∠PFB=3∠FBC,求线段AP的长.

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(1)设AG交MN于O,由题意易得AO=GO,AG⊥MN,要证四边形ANGM是菱形,还需证明OM=ON,又可证明AD∥EF∥BC.∴MO:ON=AO:OG=1:1,∴MO=NO; (2)连接AF,由题意可证得∠PFA=∠FBC=∠PAF,∴PA=PF,∴PA=,求得PA=. (1)证明:设AG交MN于O,则 ∵A、G关于BM对称, ∴AO=GO,AG⊥MN. ∵E、F分别是矩形ABCD中AB、CD的中点, ∴AE=BE,AE∥DF且AE=DF,AD∥EF∥BC. ∴MO:ON=AO:OG=1:1. ∴MO=NO. ∴AG与MN互相平分且互相垂直. ∴四边形ANGM是菱形. (2)【解析】 连接AF, ∵AD∥EF∥BC, ∴∠PAF=∠AFE,∠EFB=∠FBC. 又∵EF⊥AB,AE=BE, ∴AF=BF, ∴∠AFE=∠EFB. ∴∠PAF=∠AFE=∠EFB=∠FBC. ∴∠PFB=∠PFA+∠AFE+∠EFB=∠PFA+2∠FBC=3∠FBC. ∴∠PFA=∠FBC=∠PAF. ∴PA=PF. ∴在Rt△PFD中,根据勾股定理得:PA=PF=, 解得:PA=.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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