Question

（2004•云南）如图，已知△ABC内接于⊙O，AE切⊙O于点A，BC∥AE．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）设AB=10cm，BC=8cm，点P是射线AE上的点，若以A、P、C为顶点的三角形与△ABC相似，问这样的点有几个并求AP的长．

Answer

（1）利用弦切角定理及平行线的性质，证明∠B=∠C，得出△ABC是等腰三角形；
（2）由于∠CAP=∠B，那么以A、P、C为顶点与△ABC相似的三角形只有△CAP1或△P2AC，再根据相似三角形的性质求出AP的长．
（1）证明：∵BC∥AE，
∴∠BCA=∠CAE，
又∵AE切⊙O于点A，
∴∠CAE=∠ABC，
∴∠BCA=∠ABC，
∴AB=AC，
即△ABC是等腰三角形；

（2）【解析】
射线AE上满足条件的点有两个．
①过点C作AB的平行线交AE于点P1．
∵BC∥AE，
∴ABCP1为平行四边形，
∴AP1=BC=8．
②过点C作⊙O的切线交AE于点P2，
∴∠P2AC=∠ABC，
又∠P2CA=∠ACB，
∴△AP2C∽△CAB，
∴AP2：AC=AC：BC，
∴AP2=AC2：BC=12.5．