Question

（2002•宜昌）如图1，已知BC是圆O的直径，线段RQ∥BC，A是RQ上的任意一点，AF与圆O相切于点F，连接AB与圆O相交于点M，D是AB上一点，AD=AF，DE垂直于AB并与AC的延长线交于点E．
（1）当点A处于图2中A的位置时，AC与圆O相切于点C，求证：△ADE≌△ACB；
（2）当点A处于图3中A₁的位置时，A₁F：A₁E=1：2，．求角BCA₁的大小；
（3）图1中，若BC=4，RQ与BC的距离为3，那么△ADE的面积S与点A的位置有没有关系，请说明理由．

Answer

（1）由于AF、AC都是圆的切线，由切线长定理知：AF=AC，由此可得AD=AC，再加上公共角∠BAE、一组直角，即可证得所求的三角形全等．
（2）连接CM，则CM⊥A1B，已知A1F：A1E=1：2，即A1D：A1E=1：2，由此可求得∠DA1E=60°，∠A1CM=30°；首先用未知数表示出A1C、BC的长，在Rt△A1CM中，根据∠MA1C的度数可表示出CM的值，进而可在Rt△BCM中，根据CM、BC的值求出∠BCM的度数，由此得解．
（3）此题应分两种情况讨论：
①如图2的情况，即AE与圆相切，此时△ABC≌△ADE，因此△ADE的面积等于△ABC的面积；
②如图1、3的情况，即AE与圆相交，设AE与圆的另一个交点为N，连接BN、CM，由CM∥DE可得：CM：DE=AM：AD=AM：AF，
由切线长定理：AF2=AM×AB，由于A点在直线PQ上运动，所以△ABC的面积是不变的，因此△ADE的面积也不变，即S与A的位置无关．
（1）证明：∵AF、AC都是圆的切线，
∴AF=AC，
又∵AF=AD，∴AC=AD；
∵∠DAE=∠CAB，∠EDA=∠BCA=90°，
∴△ADE≌△ACB．

（2）【解析】
连接CM，则CM⊥A1B；
∵A1F=A1D，且A1F：A1E=1：2，
∴A1D：A1E=1：2，即∠MA1C=60°，∠A1CM=30°；
设A1C=x，则CM=x，BC=x；
在Rt△BCM中，BC：CM=x：x=：1，
∴∠BCM=45°，
∴∠BCA1=∠BCM+∠A1CM=75°．

（3）【解析】
①当AE与圆相切时，由（1）可知：△ADE≌△ACB，
此时S△ADE=S△ABC；

②当AE与圆相交时，设AE与圆的另一个交点为N，连接BN，CM；
由CM∥DE可得：CM：DE=AM：AD=AM：AF，
由切线长定理：AF2=AM×AB，
得：AM：AF=AF：AB，
∴CM：DE=AF：AB，
∴AF•DE=AB•MC，
∴AD•DE=AB•MC，
∴AD•DE=AB•MC=S△ABC，
由于A点在平行于AB的直线上运动，因此△ABC的面积为定值，且S△ABC=×4×3=6；
故△ADE的面积S与A的位置无关，且恒为6．