Question

（2002•曲靖）已知：如图，⊙O的直径AB等于4，以OA为直径作⊙O₁，BD切⊙O₁于C，交⊙O于D，连接AC、OC．
（1）求tan∠CAO的值；（2）求BD的长．

Answer

（1）求tan∠CAO的值，即求的值，易证得△BOC∽△BCA，则=；关键是求出BC的长，由切割线定理得BC2=BO•BA，由此可求得BC的长，即可得解．
（2）求BD的长，可过O作弦BD的垂线，设垂足为M；连接O1C，则△BOM∽△BO1C，可得BO：BO1=BM：BC，由此可求得BM的长，进而可求出BD的长．
【解析】
（1）∵BC切⊙O1于C，
∴BC2=BO•BA=2•4=8，即BC=2；
由弦切角定理，得∠BCO=∠BAC；
又∵∠CBO=∠ABC，
∴△BOC∽△BCA；
∴===；
Rt△AOC中，tan∠CAO==．

（2）连接O1C，过O作OM⊥BD于M，则BD=2BM；
∵BD是⊙O1的切线，
∴O1C⊥BD；
∴OM∥O1C；
∴=，
∴BM==；
∴BD=2BM=．