Question

（2002•咸宁）已知：如图甲，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CAP=∠B，则结论“AP与⊙O相切于点A”成立．
（1）若把条件“AB为直径”改为“AB为非直径的弦”，如图乙，其它条件不变，那么结论“AP与⊙O相切于点A”仍成立吗？请证明你的判断；
（2）在（1）的条件下，若D为弧AB上的一点，且弧AC=弧AD，过B、D两点的直线交PA于点E．求证：AB•DE=AC•AE．

Answer

（1）结论仍然成立．如图连接AO并延长交圆O与D，连接DC，可以证明∠PAC+∠CAD=90°，所以AP与⊙O相切于点A；
（2）连接AD，根据切线的性质和已知条件可以找到三角形相似的条件，然后证明△ADE和△ABC相似，再利用相似三角形的性质就可以证明题目的结论．
（1）【解析】
结论仍然成立．
如图，连接AO，
∴∠D+∠CAD=90°．
∵∠CAP=∠B，∠D=∠B，
∴∠CAP+∠CAD=90°．
∴AP与⊙O相切于点A．

（2）证明：连接AD，则∠ADE=∠C，
∵弧AC和弧AD相等，
∴∠ABC=∠ABD．
∵AE是圆的切线，
∴∠EAD=∠ABD．
∴∠EAD=∠ABC．
∴△AED∽△BAC．
∴AB•DE=AC•AE．