Question

（2002•武汉）如图，已知：在直角坐标系中．点E从O点出发，以1个单位/秒的速度沿x轴正方向运动，点F从O点出发，以2个单位/秒的速度沿y轴正方向运动．B（4，2），以BE为直径作⊙O₁．

（1）若点E、F同时出发，设线段EF与线段OB交于点G，试判断点G与⊙O₁的位置关系，并证明你的结论；
（2）在（1）的条件下，连接FB，几秒时FB与⊙O₁相切？
（3）若点E提前2秒出发，点F再出发．当点F出发后，点E在A点的左侧时，设BA⊥x轴于点A，连接AF交⊙O₁于点P，试问AP•AF的值是否会发生变化？若不变，请说明理由并求其值；若变化，请求其值的变化范围．

Answer

（1）要判断点G与⊙O1的位置关系，只需比较O1G与⊙O1的半径O1B的大小．设点E出发t秒，则E（t，0），F（0，2t），用待定系数法求出直线EF和直线OB的解析式，确定点G的坐标，用两点间的距离公式计算出O1G与O1B的大小，从而进行判定．
（2）如果t秒时FB与⊙O1相切，那么∠FBE=90°；在RT△BEF与RT△OEF中，根据EF不变列出方程，求出t的值．
（3）设点F出发t秒，则E（t+2，0），F（0，2t）；设P（x，y），由tan∠FAO=y：（4-x）=2t：4，得出x=4-，即P（4-，y）；因为BE为直径，所以∠BPE=90°，PE2+BP2=BE2，得出y与t的关系，可以含t的代数式得出P的坐标，分别计算AP，AF的长，根据结果判断．
【解析】
（1）设点E出发t秒，则E（t，0），F（0，2t）；
设直线EF的方程为y=kx+b，则，
∴解得，
∴y=-2x+2t，
∴直线OB的方程为y=x；
∵解方程组，
得，
∴G（t，t）；
∵O1是BE的中点，
∴O1（，1），
∴O1G2=（-t）2+（1-t）2=t2-2t+5，O1B2=（4-）2+12=t2-2t+5，
∴O1G=O1B，点G在⊙O1上．

（2）设t秒时FB与⊙O1相切，那么E（t，0），F（0，2t），∠FBE=90°；
∵EF2=BE2+BF2，EF2=OE2+OF2，
∴（4-t）2+22+42+（2-2t）2=t2+（2t）2，
解得t=2.5．

（3）设点F出发t秒，则E（t+2，0），F（0，2t），
设P（x，y）；
∵tan∠FAO=y：（4-x）=2t：4，
∴x=4-，
∴P（4-，y）．
∵BE为直径，
∴∠BPE=90°．
∵PE2+BP2=BE2
∴利用两点间的距离公式把B、P、E、F各点的坐标代入得，
∴y=，
∴x=，
即P（，），
∴AP2=（4-）2+（）2，
∴AP=×，AF==2．
∴AP•AF=8，是不会发生变化的．