Question

（2002•南京）已知：如图，⊙O₁与⊙O₂相交于A、B两点，O₁在⊙O₂上，⊙O₂的弦BC切⊙O₁于B，延长BO₁、CA交于点P、PB与⊙O₁交于点D．
（1）求证：AC是⊙O₁的切线；
（2）连接AD、O₁C，求证：AD∥O₁C；
（3）如果PD=1，⊙O₁的半径为2，求BC的长．

Answer

（1）证AC是圆O1的切线，可连接O1A然后证O1A⊥PC即可，可通过∠PAO1是圆O2的内接四边形的外角来求解．
（2）证AD∥O1C，就是证∠PAD=∠O1CA，可通过与两角相等的中间角来求解；连接BA，那么∠O1BA就是与两角相等的中间角．（主要应用弦切角和圆周角定理来求解）．
（3）由于BC，AC同与圆O1相切，因此根据切线长定理AC=BC，那么求BC也就是求AC的长，有了PD和⊙O1的半径即O1D，O1B的值，那么可根据切割线定理求出PA，由（2）得出的平行线，根据平行线分线段成比例定理，可得出关于PA，PC，PD，PO的比例关系，而PD，DQ1，PA的值都已知，因此可求出AC的长，也就求出了BC的长．
（1）证明：连接O1A；
∵BC是⊙O1的切线，
∴∠O1BC=90°．
∵∠O1AP是圆O2的内接四边形的外角，
∴∠PAO1=∠O1BC=90°，
∴Q1A⊥AC，
则AC是⊙O1的切线．

（2）证明：连接AB，
∵PC切⊙O1于点A，
∴∠PAD=∠ABD．
∵∠ACO1=∠ABO1，
∴∠PAD=∠ACO1，
∴AD∥O1C．

（3）【解析】
∵PC是⊙O1的切线，PB是⊙O1的割线，
∴PA2=PD•PB．
∵PD=1，PB=5，
∴PA=，
∵PC是⊙O1的切线．
又∵AD∥O1C．
∴=．
∴=．
∴AC=2．
∵AC，BC都是⊙O1的切线，
∴BC=AC=2．