Question

（2002•黄石）如图，已知△ABC中，AB=AC=13cm，BC=10cm，以AB为直径作⊙O交BC于D，交AC于E．过D作DF⊥AC，垂足为F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）求四边形ABDE的面积．

Answer

（1）连接AD、OD，则AD⊥BC，D为BC中点．OD为中位线，则OD∥AC，根据DF⊥AC可得OD⊥DF．得证；
（2）S四边形ABDE=S△ABC-S△DCE．易求S△ABC，关键求S△DCE．根据切割线定理可求CE；根据等积法可求DF．则可求S△DCE．
 （1）证明：连接AD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC．
又AB=AC=13，BC=10，D是BC的中点，
∴BD=5．
连接OD；
由中位线定理，知DO∥AC，
又DF⊥AC，
∴DF⊥OD．
∴DF是⊙O的切线．

（2）【解析】
由割线定理，得CE•CA=CD•CB，即
CE×13=5×10，得CE=．
∵S△ACD=AD•DC=AC•DF，即13•DF=12×5，
∴DF=，
∴S四边形ABDE=S△ABC-S△DCE=×10×12-××=．