Question

（2002•南通）已知：如图，AB是⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，DE⊥AC，E为垂足．
（1）求证：∠ADE=∠B；
（2）过点O作OF∥AD，与ED的延长线相交于点F，求证：FD•DA=FO•DE．

Answer

（1）连接OD，证明OD⊥EF，得出EF是⊙O的切线，根据切线的性质得出结论；
（2）通过证明△FDO∽△DEA，得出对应的比例，证明结论．
【解析】
（1）方法一：
证明：连接OD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC．
又∵AB=AC，
∴AD平分∠BAC，即∠OAD=∠CAD．
∴∠ODA=∠DAE=∠OAD．
∵∠ADE+∠DAE=90°，
∴∠ADE+∠ODA=90°，即∠ODE=90°，OD⊥DE．
∵OD是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线．
∴∠ADE=∠B．
方法二：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，又DE⊥AC，
∴∠DEA=90°，
∴∠ADB=∠DEA，
∵△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，
∴AD平分∠BAC，即∠DAE=∠BAD．
∴△DAE∽△BAD．
∴∠ADE=∠B．

（2）证明：∵OF∥AD，
∴∠F=∠ADE．
又∵∠DEA=∠FDO（已证），
∴△FDO∽△DEA．
∴FD：DE=FO：DA，即FD•DA=FO•DE．