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(2002•天津)已知:以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O,与斜边AC交于点...

(2002•天津)已知:以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O,与斜边AC交于点D,过点D作⊙O的切线交BC边于点E.
(1)如图,求证:EB=EC=ED;
(2)试问在线段DC上是否存在点F,满足BC2=4DF•DC?若存在,作出点F,并予以证明;若不存在,请说明理由.

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(1)连接BD,已知ED、EB都是⊙O的切线,由切线长定理可证得OE垂直平分BD,而BD⊥AC(圆周角定理),则OE∥AC;由于O是AB的中点,可证得OE是△ABC的中位线,即E是BC中点,那么Rt△BDC中,DE就是斜边BC的中线,由此可证得所求的结论; (2)由(1)知:BC=2BE=2DE,则所求的比例关系式可转化为()2=DF•DC,即DE2=DF•DC,那么只需作出与△DEC相似的△DFE即可,这两个三角形的公共角为∠CDE,只需作出∠DEF=∠C即可; ①∠DEC>∠C,即180°-2∠C>∠C,0°<∠C<60°时,∠DEF的EF边与线段CD相交,那么交点即为所求的F点; ②∠DEC=∠C,即180°-2∠C=∠C,∠C=60°时,F与C点重合,F点仍在线段CD上,此种情况也成立; ③∠DEC<∠C,即180°-2∠C<∠C,60°<∠C<90°时,∠DEF的EF边与线段的延长线相交,与线段CD没有交点,所以在这种情况下不存在符合条件的F点. (1)证明:连接BD. 由于ED、EB是⊙O的切线,由切线长定理,得 ED=EB,∠DEO=∠BEO, ∴OE垂直平分BD. 又∵AB是⊙O的直径, ∴AD⊥BD. ∴AD∥OE. 即OE∥AC. 又O为AB的中点, ∴OE为△ABC的中位线, ∴BE=EC, ∴EB=EC=ED.(4分) (2)【解析】 在△DEC中,由于ED=EC, ∴∠C=∠CDE, ∴∠DEC=180°-2∠C. ①当∠DEC>∠C时,有180°-2∠C>∠C,即0°<∠C<60°时,在线段DC上存在点F 满足条件. 在∠DEC内,以ED为一边,作∠DEF,使∠DEF=∠C,且EF交DC于点F,则点F即为所求. 这是因为: 在△DCE和△DEF中, ∠CDE=∠EDF,∠C=∠DEF, ∴△DEF∽△DCE. ∴DE2=DF•DC. 即(BC)2=DF•DC ∴BC2=4DF•DC.(6分) ②当∠DEC=∠C时,△DEC为等边三角形,即∠DEC=∠C=60°, 此时,C点即为满足条件的F点,于是,DF=DC=DE,仍有BC2=4DE2=4DF•DC.(7分) ③当∠DEC<∠C时,即180°-2∠C<∠C,60°<∠C<90°;所作的∠DEF>∠DEC,此时点 F在DC的延长线上,故线段DC上不存在满足条件的点F.(8分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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