Question

（2002•荆门）已知：如图，PF是⊙O的切线，PE=PF，A是⊙O上一点，直线AE、AP分别交⊙O于B、D，直线DE交⊙O于C，连接BC，
（1）求证：PE∥BC；
（2）将PE绕点P顺时针旋转，使点E移到圆内，并在⊙O上另选一点A，如图2．其他条件不变，在图2中画出完整的图形．此时PE与BC是否仍然平行？证明你的结论．

Answer

（1）根据切割线定理，PE=PF得出PE：PD=PA：PE，∠APE=∠APE得出△EPD∽△APE，再根据外接圆的性质得出内错角相等，得出PE∥BC．
（2）证明△EPD∽△APE，通过∠B=∠D得出内错角相等PE∥BC．
（1）证明：∵PF与⊙O相切，
∴PF2=PD•PA．
∵PE=PF，
∴PE2=PD•PA．
∴PE：PD=PA：PE．
∵∠APE=∠APE，
∴△EPD∽△APE．
∴∠PED=∠A．
∵∠ECB=∠A，
∴∠PED=∠ECB．
∴PE∥BC．

（2）【解析】
PE与BC仍然平行．
证明：画图如图，
∵△EPD∽△APE，
∴∠PEA=∠D．
∵∠B=∠D，
∴∠PEA=∠B．
∴PE∥BC．