Question

（2002•太原）（1）操作并观察：如图a，两个半径为r的等圆⊙O₁与⊙O₂外切于点P．将三角板的直角顶点放在点P，再将三角板绕点P旋转，使三角板的两直角边中的一边PA与⊙O₁相交于A，另一边PB与⊙O₂相交于点B（转动中直角边与两圆都不相切）．在转动过程中；线段AB的长与半径r之间有什么关系？请回答并证明你得到的结论；
（2）如图b，设⊙O₁与⊙O₂外切于点P，半径分别为r₁、r₂（r₁＞r₂），重复（1）中的操作过程，观察线段AB的长度与r₁、r₂之间有怎样的关系，并说明理由．

Answer

（1）要证四边形O1O2BA是平行四边形，只需证明AB=O1O2=2r；
（2）结合AO1∥BO2，作BC∥O1O2．有∠ACB=∠O2O1A，O1O2=BC．在△ABC中，由大角对大边知，AB＞BC．故有AB＞O1O2=r1+r2．
【解析】
（1）连接O1O2，O1A，O2B．
∵O1P=O1A，O2P=O2B，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠AO1P=180°-2∠1，∠BO2P=180°-2∠4．
∵∠APB=90°，
∴∠2+∠4=90°，
∴∠AO1P+∠BO2P=360°-2（∠2+∠4）=180°，
∴AO1∥BO2．
又∵AO1=BO2=r，
所以四边形O1O2BA是平行四边形，有AB=O1O2=2r．

（2）连接O1O2，O1A，O2B．
∵O1P=O1A，O2P=O2B，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠AO1P=180°-2∠1，∠BO2P=180°-2∠4．
∵∠APB=90°，
∴∠2+∠4=90°，
∴∠AO1P+∠BO2P=360°-2（∠2+∠4）=180°，
∴AO1∥BO2，
故有AB＞O1O2=r1+r2．