Question

（2002•泉州）某中学有一块长为a米，宽为b米的矩形场地，计划在该场地上修筑宽都为2米的两条互相垂直的道路，余下的四块矩形小场地建成草坪．
（1）如图，请分别写出每条道路的面积（用含a或含b的代数式表示）；
（2）已知a：b=2：1，并且四块草坪的面积之和为312米²，试求原来矩形场地的长与宽各为多少米？
（3）在（2）的条件下，为进一步美化校园，根据实际情况，学校决定对整个矩形场地作如下设计（要求同时符合下述两个条件）：
条件①：在每块草坪上各修建一个面积尽可能大的菱形花圃（花圃各边必须分别与所在草坪的对角线平行），并且其中有两个花圃的面积之差为13米²；
条件②：整个矩形场地（包括道路、草坪、花圃）为轴对称图形．
请你画出符合上述设计方案的一种草图（不必说明画法与根据），并求出每个菱形花圃的面积．

Answer

（1）由图可知：道路的形状都是小长方形，因此道路的面积=矩形场地的长或宽×b或a．
（2）根据a，b的比例关系，可用未知数表示出a，b，然后根据草坪的总面积=大矩形的面积-两条道路的面积和+道路重叠的小正方形的面积．以此可列出方程求出未知数的值，也就求出了a，b的值．
（3）根据两个条件我们可知：一条道路要平分大矩形，且平分的两边中，每边都有一个大花圃和一个小花圃，然后根据这个特点，分别出表示出每块草坪的长和宽也就是菱形花圃的对角线的长，也就能表示出大，小菱形花圃的面积，根据“有两个花圃的面积之差为13米2”，让大花圃的面积-小花圃的面积=13，以此可得出方程，进而求出所求的值．
【解析】
（1）这两条道路的面积分别是2a平方米和2b平方米．

（2）设b=x米，a=2x米．根据题意得：
x•2x-（2x+4x-4）=312，
整理得：x2-3x-154=0，
解得：x1=14，x2=-11（不合题意舍去）．
∴b=14，a=28．即矩形的长为28米．宽为14米．

（3）符合设计方案的一种草图如图1所示，其中四个菱形花圃中，第1个与第2个，第3个与第4个花圃的面积分别相等．设AE=x，则FB=14-2-x=12-x（米），AG==13（米）．
根据题意得：×13•x-（12-x）×13=13，
解得x=7．
∴大菱形花圃的面积为×7×13=45.5（米2），
小菱形花圃的面积为×（12-7）×13=32.5（米2）．