Question

（2002•内江）如图，以△ABC的BC边为直径的半圆交AB于D，交AC于E，EF⊥BC，垂足为F，BF：FC=5：1，AB=8cm，AE=2cm．则AD的长是    cm．

Answer

由割线定理知：AD•AB=AE•AC，因此求AD的长，缺少的是AC或EC的长；可通过构建直角三角形求解．连接BE，在Rt△ABE中，BE的长可由勾股定理求得；在Rt△BEC中，EF⊥BC，根据射影定理可得BE2=BF•FC，由此可求出FC、BC的长，进而可求出EC的长；即可得AD的长．
【解析】
连接BE，则∠BEC=90°；
在Rt△AEB中，AB=8cm，AE=2cm；由勾股定理得，BE2=60．
在Rt△BEC中，EF⊥BC，根据射影定理，可得：
BE2=BF•BC=5FC•6FC=30FC2；
∵BE2=60，∴FC=cm，BC=6cm；
同理，可得：EC2=FC•BC=12，即EC=2cm．
由割线定理，得：AD•AB=AE•AC，即：
AD×8=2×（2+2），解得AD=cm．