Question

（2002•苏州）如图，梯形OABC中，O为直角坐标系的原点，A、B、C的坐标分别为（14，0）、（14，3）、（4，3）．点P、Q同时从原点出发，分别作匀速运动，其中点P沿OA向终点A运动，速度为每秒1个单位；点Q沿OC、CB向终点B运动，当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动．设P从出发起运动了t秒．
（1）如果点Q的速度为每秒2个单位，
①试分别写出这时点Q在OC上或在CB上时的坐标（用含t的代数式表示，不要求写出t的取值范围）；
②求t为何值时，PQ∥OC？
（2）如果点P与点Q所经过的路程之和恰好为梯形OABC的周长的一半，
①试用含t的代数式表示这时点Q所经过的路程和它的速度；
②试问：这时直线PQ是否可能同时把梯形OABC的面积也分成相等的两部分？如有可能，求出相应的t的值和P、Q的坐标；如不可能，请说明理由．

Answer

（1）①根据相似三角形的性质即可求得点Q在OC上时的坐标；根据路程即可求得点Q在CB上时的横坐标是（2t-5），纵坐标和点C的纵坐标一致，是3；
②显然此时Q在CB上，由平行四边形的知识可得，只需根据OP=CQ列方程求解；
（2）①设Q的速度为v，根据P与点Q所经过的路程之和恰好为梯形OABC的周长的一半，即可建立函数关系式；
②显然Q应在CB上，根据面积和①中的结论得到关于t的方程，进行求解．
【解析】
（1）①点Q在OC上时Q（t，t）
点Q在CB上时Q（2t-1，3）．
②显然Q在CB上，由平行四边形的知识可得，只须OP=CQ
所以2t-5=t得t=5．

（2）①设Q的速度为v，先求梯形的周长为32，可得t+vt=16，
所以v=，
点Q所经过的路程为（16-t）．
②能．
显然Q应在CB上，梯形的面积为（10+14）×3÷2=36，t秒Q点运动的路程为2t，
则BQ=11-（2t-5）=16-2t，AP=14-t，
可得=18，
解得t=6，
则BQ=4，Q点坐标为（10，3）；
AP=8，P点坐标为（6，0）．