（2002•深圳）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，以HF为直径...

（2002•深圳）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，以HF为直径的圆与AB、BC、CD、DA相切，切点分别是E、F、G、H．其中H为AD的中点，F为BC的中点．连接HG、GF．
（1）若HG和GF的长是关于x的方程x²-6x+k=0的两个实数根，求⊙O的直径HF（用含k的代数式表示），并求出k的取值范围．
（2）如图，连接EG，DF．EG与HF交于点M，与DF交于点N，求 manfen5.com 满分网

的值．

（1）根据直径所对的圆周角是直角得到直角三角形HGF，再根据勾股定理以及根与系数的关系求得HF的长，根据一元二次方程根的判别式求得k的取值范围；（2）先利用平行线等分线段定理求得=1，再根据垂径定理可知EM=MG，从而利用合比性质求得=．【解析】（1）∵HG和GF的长是关于x的方程x2-6x+k=0的两个实数根， ∴HG+GF=6，HG•GF=k，又∵HF为圆O的直径，∴△FHG为直角三角形，由勾股定理得：HG2+GF2=HF2，即HF2=（HG+GF）2-2HG•GF=36-2k， ∴HF=， ∵方程x2-6x+k=0的两个实数根， ∴△=36-4k＞0， ∴k＜9；（2）∵H为AD的中点，F为BC的中点， ∴AH=HD，BF=FC ∵AH=AE，HD=DG ∴AE=DG，EB=GC ∴AD∥BC∥EG ∵=，= ∴MN=，GN= ∴==• ∵== ∴=1 ∵EM=MG ∴=．

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考点分析：

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（1）如果点Q的速度为每秒2个单位，
①试分别写出这时点Q在OC上或在CB上时的坐标（用含t的代数式表示，不要求写出t的取值范围）；
②求t为何值时，PQ∥OC？
（2）如果点P与点Q所经过的路程之和恰好为梯形OABC的周长的一半，
①试用含t的代数式表示这时点Q所经过的路程和它的速度；
②试问：这时直线PQ是否可能同时把梯形OABC的面积也分成相等的两部分？如有可能，求出相应的t的值和P、Q的坐标；如不可能，请说明理由．

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（1）证明线段AO、OB、OP中，任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度；
（2）过线段OB（包括端点）上任一点M，作MN⊥AB交AC于点N．如果要使线段AM、MB、MN中任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度，那么请求出线段AM的长度的取值范围．

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试题属性

题型：解答题
难度：中等