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(2002•东城区)已知如图P是⊙O直径AB延长线上的一点,割线PCD交⊙O于C...

(2002•东城区)已知如图P是⊙O直径AB延长线上的一点,割线PCD交⊙O于C、D两点,弦DF⊥AB于点H,CF交AB于点E.
(l)求证:PA•PB=PO•PE;
(2)若DE⊥CF,∠P=15°,⊙O的半径为2,求弦CF的长.

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(1)欲证PA•PB=PO•PE,而这四条线段根本构不成相似三角形,因此需要转化,根据切割线定理,PD•PC=PA•PB,所以原题可转化为证明PO•PE=PD•PC,即证△DPO∽△EPC,而这两个三角形现在共用一个角P,且根据弧AD=弧AF=弧DF,可证∠AOD=∠DCF即∠POD=∠PCE,因此得出相似,从而找出比例线段,得到等积式; (2)由图可知,CF=CE+EF,而由垂径定理可知DE=EF,所以只要求出DE和CE即可,欲求CE,可通过证明△DHO∽△DEC,运用比例线段进行求解,至于DE,则根据题中给出的已知条件可说明三角形DHE为等腰直角三角形,而DH和HE则可通过勾股定理求出,从而求出CF的值. (1)证明:连接OD. ∵AB是⊙O的直径,且DF⊥AB于D点H, ∴==. ∴∠AOD=∠DCF. ∴∠POD=∠PCE. ∵∠DPO=∠EPC, ∴△DPO∽△EPC. ∴. 即PO•PE=PD•PC. 又PD•PC=PA•PB, ∴PA•PB=PO•PE. (2)【解析】 由(1)知: AB是弦DF的垂直平分线, ∴DE=EF. ∴∠DEA=∠FEA. ∵DE⊥CF, ∴∠DEA=∠FEA=45°. ∴∠FEA=∠CEP=45°. ∵∠P=15°, ∴∠AOD=60°. 在Rt△DHO中 ∵∠AOD=60°,OD=2, ∴OH=1,DH=. ∵△DHE是等腰直角三角形, ∴DE=. 又∵∠AOD=∠DCF,∠DHO=∠DEC=90°, ∴△DHO∽△DEC. ∴. ∴. ∴EC=. ∴CF=CE+EF=CE+DE=.
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考点分析:
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(2)如果点P与点Q所经过的路程之和恰好为梯形OABC的周长的一半,
①试用含t的代数式表示这时点Q所经过的路程和它的速度;
②试问:这时直线PQ是否可能同时把梯形OABC的面积也分成相等的两部分?如有可能,求出相应的t的值和P、Q的坐标;如不可能,请说明理由.

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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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