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(2002•广西)如图1,AD是Rt△ABC的斜边BC上的高,AB=AC,⊙O过...

(2002•广西)如图1,AD是Rt△ABC的斜边BC上的高,AB=AC,⊙O过A、D两点并分别交AB、AC于E、F,连接EF交AD于G,分别连接ED、DF.
(1)填空,直接写出图中至少三对相似而不全等的三角形,它们是______
(2)填空,直接写出图中所有的全等三角形,它们是______,并且写出线段AE、AF、AB间的关系式______
(3)如图2,当圆心O的位置移到△ABC的外面,⊙O分别与BA、AC的延长线交于点E',F'时,分别连接E'F'、E'D、DF',线段AE′、AF′、AB间有什么关系?请证明你的结论.
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(1)AB=AC,且∠BAC=90°,因此∠BAC=∠CAB=∠A=∠B=45°,也就能得出弧ED=弧DF,因此DE=DF,由于∠EAF=90°,那么EF就是圆的直径,那么∠EDF也是直角,因此△EDF也是个等腰直角三角形,所以△EDF∽△CAD∽△BAD∽△ABC,而△AEG,△DGF以及△EGD,△AFG可以通过对顶角和同弧所对的圆周角相等来得出相似,本题的相似三角形较多,只要能得出两组对应角相等的就都可以(前提是不全等); (2)AD是等腰直角三角形斜边上的高,因此AD分成的两个小等腰直角三角形就全等,因为∠DFC是圆内接四边形AEDF的外角,因此∠DFC=∠AED,又有∠BAD=∠C=45°,且AD=DC,那么△AED≌△CFD,同理可证得△BDE≌△ADF,由△AED≌△CFD,我们可得出AE=FC,因此AC=AE+AF=AB. (3)方法同(2)得出AE'=F'C后,AC+AE'=AF',即AB+AE'=AF',AB=AF'-AE'. 【解析】 (1)△AEG∽△FDG,△AGF∽△EGD,△DEF∽△ABC(答案不唯一,只要正确都可以). (2)△ABD≌△ACD;△BDE≌△ADF;△CDF≌△ADE;AE+AF=AB. (3)AB=AF'-AE'. 证明:连接DF', ∵△ABC是等腰直角三角形,AD是斜边上的高 ∴∠B=∠BAD=∠DCA=45° ∴∠E'AD=∠DCF'=135° ∵∠AE'D=∠CF'D,AD=DC ∴△E'AD≌△F'CD ∴AE'=CF', ∴AF'=AC+CF'=AE'+AC, ∵AB=AC ∴AB=AF'-AE'.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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