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(2002•佛山)如图,已知⊙O的直径AB与弦CD相交于点G,E是CD延长线上的...

(2002•佛山)如图,已知⊙O的直径AB与弦CD相交于点G,E是CD延长线上的一点,连接AE交⊙O于F,连接AC、CF,若AC2=AF•AE.
求证:(1)△ACF∽△AEC;(2)AB⊥CD.

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(1)由已知条件AC2=AF•AE,可得出=,∠CAF=∠EAC,根据相似三角形的判定得出△ACF∽△AEC (2)由(1)得出的结论可知∠AFC=∠ACE,连接BC,又得∠AFC=∠ABC,从而得出∠ABC=∠ACE,再根据直径与弦的关系,得出∠ACB=∠ACE+∠BCG=90°,从而推出∠ABC+∠BCG=90°,∠BGC=90°,从而得出AB⊥CD. 证明:(1)∵AC2=AF•AE, ∴,∠CAF=∠EAC. ∴△ACF∽△AEC. (2)方法一:连接BC, ∵△ACF∽△AEC, ∴∠AFC=∠ACE. ∵∠AFC=∠ABC, ∴∠ABC=∠ACE. ∵AB是⊙O的直径, ∴∠ACB=∠ACE+∠BCG=90°. ∴∠ABC+∠BCG=90°. ∴∠BGC=90°. ∴AB⊥CD. 方法二: ∵△ACF∽△AEC, ∴∠AFC=∠ACE. ∵∠AFC=∠ADC, ∴∠ADC=∠ACE. ∴AD=AC,. ∵AB是⊙O的直径, ∴. ∴. ∴∠BAD=∠BAC. ∴AB⊥CD.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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