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(2002•海淀区)如图,AB是⊙O的直径,AE平分∠BAF交⊙O于点E,过点E...

(2002•海淀区)如图,AB是⊙O的直径,AE平分∠BAF交⊙O于点E,过点E作直线与AF垂直交AF延长线于D点,且交AB延长线于C点.
(1)求证:CD与⊙O相切于点E;
(2)若CE•DE=manfen5.com 满分网,AD=3,求⊙O的直径及∠AED的正切值.

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(1)由题可知,E已经是圆上一点,欲证CD为切线,只需证明∠OED=90°即可. (2)欲求圆的直径,必须求出半径OA或OB或OE,可以把题中所求部分抽象到相似三角形中来考虑,借助于比例线段来求解.∠AED的正切值则必须求出AD以及ED的值. (1)证明:连接OE, ∵AE平分∠BAF, ∴∠OAE=∠EAD. ∵OE=OA, ∴∠OEA=∠OAE. ∴∠OEA=∠EAD. ∴OE∥AD. ∵∠OED=∠ADC=90°且E在⊙O上, ∴CD与⊙O相切于点E. (2)【解析】 连接BE、EF, ∵AB为直径, ∴RT△BAE∽RT△EAD. ∴① ∵CD与⊙O相切于点E, ∴∠CEB=∠OAE. ∵∠C为公共角, ∴△CBE∽△CEA. ∴② 由①②得 , ∴DE•EC=AD•CB. ∵CE•DE=,AD=3, ∴. 由(1)知OE∥AD ∴. 设OE=x(x>0), 则CO=,CA=, ∴. ∴x=-1(舍去)或x=. ∴⊙O直径为. ∴CA=CB+BA=5. 由切割线定理知CE2=CB•CA=, ∴. ∴. ∴tan∠AED=.
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考点分析:
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求证:
(1)AE是⊙O切线;
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(1)求证:PC是⊙O的切线;
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(1)求证:PE是⊙O的切线;
(2)求⊙O和⊙O′的半径的长;
(3)若点A在劣弧manfen5.com 满分网上运动(与点Q、F不重合),连接PA交劣弧manfen5.com 满分网于点B,连接BC并延长交⊙O于点G,设CG=x,PA=y,求y关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.

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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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