Question

（2001•宁夏）用两种方法解答：已知m、n是关于x的方程x²+（p-2）x+1=0两个实数根，求代数式（m²+mp+1）（n²+np+1）的值．

Answer

本题主要是利用韦达定理来计算．已知m、n是关于x的方程x2+（p-2）x+1=0两个实数根，有四个等式可供使用：m+n=2-p①，mn=1②，m2+（p-2）m+1=0③，n2+（p-2）n+1=0④．通过变形方法，合理地选择解题方法．
【解析】
∵m、n是x2+（p-2）x+1=0的根，
∴m+n=2-p，mn=1．
方法一：
m2+（p-2）m+1=0，n2+（p-2）n+1=0．
即m2+pm+1=2m，n2+pn+1=2n．
原式=2m×2n=4mn=4．
方法二：
（m2+mp+1）（n2+np+1）
=（m2+mp）（n2+np）+m2+mp+n2+np+1
=m2n2+m2np+mpn2+mnp2+m2+mp+n2+np+1
=1+mp+np+p2+m2+n2+mp+np+1
=2+p2+m2+n2+2（m+n）p
=2+p2+m2+n2+2（2-p）p
=2+p2+m2+n2+4p-2p2
=2+（m+n）2-2mn+4p-2p2+p2
=2+（2-p）2-2+4p-2p2+p2
=4-4p+p2+4p-p2
=4．