Question

（2001•温州）如图，点A在⊙O外，射线AO与⊙O交于F、G两点，点H在⊙O上，弧FH=弧GH，点D是弧FH上一个动点（不运动至F），BD是⊙O的直径，连接AB，交⊙O于点C，连接CD，交AO于点E，且OA=，OF=1，设AC=x，AB=y．
（1）求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）若DE=2CE，求证：AD是⊙O的切线；
（3）当DE，DC的长是方程x²-ax+2=0的两根时，求sin∠DAB的值．

Answer

（1）由割线定理可得：AG•AF=AB•AC，整理即可得到y关于x的函数关系式，根据D的运动情况即可确定自变量x的取值范围．
（2）延长DC至点M，使得EC=CM，连接BM，然后根据中位线定理确定△ACE≌△BCM，再根据圆周角的特点得出△ACD≌△BCD，最后利用勾股定理得出，△AOD是直角三角形，进而根据∠ADO=90°推出AD是圆O的切线．
（3）根据sin∠DAB的值等于，再求出CD，即可得出答案．
（1）【解析】
∵OF=OG=1，
∴AG=OA+OG=+1 AF=OA-OF=-1，
∵AG•AF=AB•AC，（+1）•（-1）=y•x，
∴y关于x的函数关系式为：y=；
当D与H重合时，△DCB为等腰直角三角形，C正好与F重合，
x取最小值：x=AF=1；
当D与F重合时，AB正好为圆O的切线，x取最大值：x=AD，
由切割线定理可得：AD2=（+1）•（-1）=4，则AD=2，
∴x取最大值：x=AD=2；
∵点D不运动至F，
∴自变量x的取值范围为-1≤x＜．

（2）证明：延长DC至点M，使得EC=CM，连接BM．
∵DE=2CE=CE+CM=EM，
即DE=EM．
∵OD=OB，
∵OE∥BM，
∴AG∥BM，
∴∠OAB=∠ABM．
∵∠ACE=∠BCM且CE=CM，
∴△ACE≌△BCM，
∴AC=BC．
∵∠BCD=90°，
∴∠ACD=∠BCD．
∵AC=BC，DC=DC，
∴△ACD≌△BCD，
∴AD=BD．
∵OF=1，
∴BD=2OF=2，OD=OF=1．
∴AD=2．
∵OA=，
∵AD=2，OD=1，
∴OA2=OD2+AD2，
∴△AOD是直角三角形．
∴∠ADO=90°．
∴AD是圆O的切线．

（3）【解析】
∵AD=2，△DCB为等腰直角三角形，OD=1，
∴CD=，
∴sin∠DAB==．