Question

（2001•金华）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（-4，0），点C为y轴上一动点，连接AC，过点C作CB⊥AC，交x轴于B．
（1）当点B坐标为（1，0）时，求点C的坐标；
（2）如果sinA和cosA是关于x的一元二次方程x²+ax+b=0的两个实数根，过原点O作OD⊥AC，垂足为D，且点D的纵坐标为a²，求b的值．

Answer

（1）在直角三角形AOC、BOC、ABC中，根据数量关系利用勾股定理可求出点C的坐标；
（2）先利用根与系数的关系确定a、b的数量关系，再利用三角函数和三角形的面积公式求出a2的值．
【解析】
（1）在Rt△AOC中，AO2+OC2=AC2，∴42+OC2=AC2． ①
在Rt△BOC中，BO2+OC2=BC2，∴12+OC2=BC2． ②
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，∴AC2+BC2=52． ③
由①、②两式可得AC2-BC2=15，
与第③式联立可解得BC=，AC=2．
∴OC=2．
∴点C的坐标为（0，2）．

（2）∵sinA和cosA是关于x的一元二次方程x2+ax+b=0的两个实数根，
∴sinA+cosA=-a，sinA•cosA=b．
又∵sinA2+cosA2=1，
则sinA2+cosA2=（sinA+cosA）2-2sinA•cosA=a2-2b=1．
∴a2=2b+1①，
在Rt△ADE中，sinA=，
在Rt△AOD中，cosA=，
∴sinA•cosA=•===b，
∴a2=4b②，
由①②，可得b=．