Question

（2001•温州）已知抛物线y=x²+2（k+1）x-k与x轴有两个交点，且这两个交点分别在直线x=1的两侧，则k的取值范围是    ．

Answer

根据二次函数y=x2+2（k+1）x-k的图象与x轴有两个交点可以得到其判别式是正数，由此得到关于k的不等式，解不等式即可求出k的取值范围，再根据两个交点分别在直线x=1的两侧求出k的取值范围然后再取k的公共部分．
【解析】
∵抛物线y=x2+2（k+1）x-k与x轴有两个交点，
∴b2-4ac=[2（k+1）]2-4×1×（-k）=4（k2+3k+1）＞0，
解得：k＞或k＜，
∵两个交点分别在直线x=1的两侧，
∴可设x1＜1，x2＞1，
即x1-1＜0，x2-1＞0，
∴（x1-1）•（x2-1）＜0，
即（x1x2）-（x1+x2）+1＜0，
由解析式y=x2+2（k+1）x-k可得x1x2=-k，x1+x2=-2（k+1），
∴（x1x2）-（x1+x2）+1=k+3＜0，
解得k＜-3；
所以k的取值范围是k＜-3．