Question

（2001•宁波）已知α，β是方程x²-x-1=0的两根，抛物线y=ax²+bx+c经过两点（α，β）（β，α），且a+b+c=1，求a，b，c的值．

Answer

将坐标代入抛物线，结合根与系数的关系解答．
【解析】
因为抛物线y=ax2+bx+c经过两点（α，β）（β，α），
所以β=aα2+bα+c①，α=aβ2+bβ+c②，
①+②得，α+β=a（α2+β2）+b（α+β）+2c，
变形为：α+β=a（α2+β2+2αβ-2αβ）+b（α+β）+2c，即α+β=a（α+β）2-2a•αβ+b（α+β）+2c③，
α，β是方程x2-x-1=0的两根，
所以α+β=1，αβ=-1，代入③得1=a+2a+b+2c，即3a+b+2c=1，
①-②得β-α=a（α2-β2）+b（a-β）），
即a（α+β）+b=-1，即a+b=-1，由a+b+c=1，解得c=2，
又a+b+c=1，3a+b+2c=1，
联立得：，
解得，
故a=-1，b=0，c=2．