Question

（2001•武汉）如图，关于x的二次函数y=x²-2mx-m的图象与x轴交于A（x₁，0）、B（x₂，0）两点（x₂＞0＞x₁），与y轴交于C点，且∠BAC=∠BCO．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）以点D（，0）为圆心作⊙D，与y轴相切于点O．过抛物线上一点E（x₃，t）（t＞0，x₃＜0）作x轴的平行线与⊙D交于F、G两点，与抛物线交于另一点H．问：是否存在实数t，使得EF+GH=FG？如果存在，求出t的值；如果不存在，请说明理由．

Answer

（1）中求函数解析式即要求m的大小，由图可知，OC=|m|，又抛物线与x轴交于A、B两点，则OA•OB=m，且m＞0，根据题设条件可推得△BCO∽△CAO，帮CO2=OA•OB即m2=m，从而求出m=1（m=0不合题意，舍去）．
（2）是一道存在型探索问题，可先假设符合题意的t值存在，再把EF+GH=FG作为已知条件结合题设与相关知识进行演算推证，若求出合适的t的值，则假设成立；若求不出t值或所求值与已知矛盾，则假设不成立．
【解析】
（1）∵∠BAC=∠BCO，∠BOC=∠COA=90°
∵△BCO∽△CAO，
∴，
∴CO2=AO•OB．
由已知可得：AO=|x1|=-x1，OB=|x2|=x2
∵x1x2=-m＜0，
∴m＞0，
∴CO=m，AO•BO=m
∴m2=m，m=1，m=0（舍去），
∴抛物线的解析式为：y=x2-2x-1；

（2）存在实数t，使得EF+GH=FG．
过D作DM⊥EH于M，连接DG，
∵EH∥x轴，E（x3，t），
∴DM=t，
∵DG=DO=
∴FG=2MG=2=2，
由EF+GH=FG得EH=2FG；
又∵EH∥x轴，E（x3，t），
∴设H（x4，t）
∵E、H是抛物线上的两点，
∴x32-2x3-1=t，x42-2x4-1=t，
即x3、x4是方程的两个不相等的根，
∴x3+x4=2，x3•x4=-（1+t），
∵x3＜0
∴x4＞0
∴EH=x4-x3===2，
∴2=4，
即4t2+t-6=0，
解这个方程得t1=，t2=-（舍去），
故存在实数t=，使得EF+GH=FG．