Question

（2001•四川）已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴相交于不同的两点A（x₁，0），B（x₂，0）（x₁＜x₂），与y轴的负半轴交于点C．若抛物线顶点的横坐标为-1，A、B两点间的距离为10，且△ABC的面积为15．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求出点A和点B的坐标；
（3）在x轴上方，（1）中的抛物线上是否存在点C'，使得以A、B、C'为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点C'的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）（2）因为抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于不同的两点A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2），所以A和B关于抛物线对称轴对称，于是=-1①；又因为A、B两点间的距离为10，且x1＜x2，所以x2-x1=10②，△ABC的面积可表示为|c|=15③，将①②③组成方程组，即可解出点A和点B的坐标和抛物线的解析式．
（3）假设三角形相似，画出图形，先确定相似三角形的一个对应角，然后求出直线解析式，与二次函数的解析式联立求出点P的坐标，再根据勾股定理求出PA的长度，然后利用相似三角形的对应边成比例进行验证，符合的，则存在，否则就不合适．
【解析】
（1）（2）因为抛物线过A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2），且抛物线顶点的横坐标为-1，
所以是=-1①；
又因为A、B两点间的距离为10，且x1＜x2，
所以x2-x1=10②，
因为△ABC的面积为15，所以为×（-c）=15③，
组成方程组得，
解得，
于是A（-6，0），B（4，0），
把c=-3，代入y=ax2+bx+c得
，
解得，
于是函数解析式为y=x2+x-3，
所以点A和点B和点C的坐标分别为A（-6，0），B（4，0），C（0，-3）．
于是可画出图形：

（3）①如图1所示，构造△ABC∽△APB，在y轴正半轴上找C′（0，3）
连接AC′并延长AC′交抛物线于P，连接PB，
则∠PAB=∠BAC，
易得AC′：y=+3，
联立，
解得：（A点），，
∴P（8，7）
∴AP===7，
∴≠，
根据对称可得（-10，7）也不成立，
此猜想不成立，

②构造△ABC∽△PAB，
过A点作AP′∥BC交抛物线于P′，
∴∠P′AB=∠ABC，
设直线AP′为y=x+b，
则×（-6）+b=0，
解得b=，
∴直线AP′为：y=x+，
联立，
解得（A点），，
∴P′（10，12），
∴P′A==20，
∴==2，
∴△ABC∽△P′AB，
根据对称可得P″（-12，12），
∴P′（10，12），P″（-12，12）为所求．