Question

（2001•温州）如图，在正方形ABCD中，AD=8，点E是边CD上（不包括端点）的动点，AE的中垂线FG分别交AD，AE，BC于点F，H，K交AB的延长线于点G．
（1）设DE=m，，用含m的代数式表示t；
（2）当时，求BG的长．

Answer

（1）过点H作MN∥CD交AD，BC于M，N，根据矩形的性质及平行线的性质可得到FH：HK=HM：HN，从而可用含m的代数式表示t；
（2）过点H作HT⊥AB于T，根据正方形的性质及平行线的性质可求得BG的长．
【解析】
（1）过点H作MN∥CD交AD，BC于M，N，则四边形ABNM是矩形，
∴MN=AB=AD，
∵FG是AE的中垂线，
∴H为AE的中点，
∴MH=DE=m，HN=8-m，
∵AM∥BC，
∴FH：HK=HM：HN=（m）：（8-m），
∴t=．

（2）过点H作HT⊥AB于T，
当t=时，=，解得m=4，即DE=4，
在Rt△ADE中，由勾股定理得，AE2=AD2+DE2=80，
∴AE=4，
∴AH=AE=2，
∵AF∥HT∥BK，
∴AT：BT=FH：HK=t=，
∵AB=8，
∴AT=2，BT=6．
在直角△AHG中，HT⊥AG，
∴△AHT∽△HGT，
∴TH：TG=AT：HT，
∴TG=HT2：AT．
在直角△AHT中，HT2=AH2-AT2=16，
∴HT=4，
∴TG=42÷2=8，
∴BG=TG-BT=8-6=2．