Question

（2001•青海）已知，四边形ABCD中，AB=DC，AC=BD，AD≠BC，求证：四边形ABCD是等腰梯形．
分析：要证四边形ABCD是等腰梯形，因为AB=DC，所以只要证四边形ABCD是梯形即可；又因为AD≠BC，故只需证AD∥BC即可；要证AD∥BC，现有图所示四种添作辅助线的方法，请任意选择其中两种图形，对原题进行证明．

Answer

此处选择证A、D两种情况，A）过点A作AE∥DC，交BC边于点E，根据已知可以利用SSS判定△ABC≌△DCB，从而得到∠ABC=∠DCB，根据平行线的性质可得到∠DCB=∠AEB，从而推出AE=AB=DC，根据有一组边平行且相等的四边形是平行四边形得到四边形ADCE为平行四边形，从而推出AD∥EC即AD∥BC，又因为AD≠BC，AB=DC，所以四边形ABCD是等腰梯形．
D）同理可证明得四边形ABCD是等腰梯形．
此处选择证A、D两种情况．
A）证明：过点A作AE∥DC，交BC边于点E，
∵AB=DC，AC=BD，BC=BC，
∴△ABC≌△DCB．
∴∠ABC=∠DCB．
∵AE∥DC，
∴∠DCB=∠AEB．
∴∠AEB=∠ABC．
∴AE=AB=DC．
∴四边形ADCE为平行四边形．
∴AD∥EC即AD∥BC．
∵AD≠BC，AB=DC，
∴四边形ABCD是等腰梯形．

D）证明：过点D作DG∥AC，交BC延长线于点G，
∵AB=DC，AC=BD，BC=BC，
在△ABC和△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB．
∴∠ACB=∠DBC．
∵DG∥AC，
∴∠ACB=∠DGC．
∴∠DBC=∠DGC．
∴DG=DB=AC．
∴四边形ADGC为平行四边形．
∴AD∥GC即AD∥BC．
∵AD≠BC，AB=DC，
∴四边形ABCD是等腰梯形．