（2001•哈尔滨）已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，，梯形的...

（2001•哈尔滨）已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB， manfen5.com 满分网

，梯形的高

，且

．
（1）求∠B的度数；
（2）设点M是梯形对角线AC上一点，DM的延长线与BC相交于点F，当 manfen5.com 满分网

时，求作以CF、DF的长为根的一元二次方程．

（1）本题可先表示出梯形ABCD的面积以及三角形ABC的面积，然后根据它们的比例关系可得出AD，BC的和与AD，BC的积的比例关系，然后将化简，可得出关于AD，BC的和与BC的比例关系，让两个式子相除即可得出AD的值，也就能求出BC，AB的长了．有了AB的长，那么可在直角三角形ABE中，根据AB，AE的值用正弦函数求出∠B的度数．（2）本题的关键是求出CF，DF的长，题中给出了三角形ADM的面积，那么我们可通过作高线来求解．过M作两底的垂线交AD于H，交BC于N．那么根据三角形ADM的面积我们可求出MH的长，也就能求出MN的长，根据三角形ADM和FMC相似，我们可得出AD与FC的比应该等于两三角形的对应的高的比．这样就能求出CF的长，然后通过CF的长，判定出四边形ADFB是菱形，然后即可得出DF的长，这样就能求出所求的方程了．【解析】（1）∵S梯形ABCD=（AD+BC）•AE，S△ABC=BC•AE ∴==…① ∵ ∴=…② ①÷②得：AD=5 ∴AB=AD=5，BC=8 直角三角形ABE中，sinB=AB：AE= ∴∠B=60°；（2）过M作HN垂直于梯形ABCD的两底，且交AD于H，交BC于N． S△ADM=AD•MH=×5•MH= ∴MH= ∴MN=AE-MH= ∵AD∥BC ∴△ADM∽△FCM ∴AD：FC=MH：MN，即5：FC=5：3 ∴CF=3 ∴BF=BC-CF=8-3=5=AD ∵AD∥BC ∴四边形ABFD是平行四边形 ∵AD=AB=BF ∴四边形ABFD是菱形 ∴DF=5 那么以CF，DF为根的一元二次方程就应该是x2-8x+15=0．

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等