Question

（2001•金华）如图，菱形铁片ABCD的对角线AC，DB相交于点E，，AE、DE的长是方程x²-140x+k=0的两根．
（1）求AD的长；
（2）如果M，N是AC上的两个动点，分别以M，N为圆心作圆，使⊙M与边从AB、AD相切，⊙N与边BC，CD相切，且⊙M与⊙N相外切，设AM=t，⊙M与⊙N面积的和为S，求S关于t的函数关系式；
（3）某工厂要利用这种菱形铁片（单位：mm）加工一批直径为48mm，60mm，90mm的圆形零件（菱形铁片上只能加工同一直径的零件，不计加工过程中的损耗），问加工哪种零件能最充分地利用这种铁片并说明理由．

Answer

（1）由图可知：AD是Rt△ADE中斜边长，则求AD根据sin∠DAC=，可以求出DE的长，再根据根与系数的关系即可求得DE的长度；
（2）分别过点M作MF⊥AD于F，过点N作NG⊥CD于G，在Rt△AMF中，根据sin∠DAC，可以用t来表示FM，再根据∠DCA=∠DAC，则sin∠DAC=sin∠DA，则可以用NG来表示NC．又知⊙M与⊙N相外切，则MN=MF+NG．根据AC=AM+NC+MN，即可求得NG的值，最后用t来表示S；
（3）如果将这块科加工成一个最大的圆形零件，设它的半径为R1，由图形的轴对称性知，圆心必在对角线交点E处，则可以求得R1的值，则加工成直径为90mm的圆形零件只能加工1个，而加工成直径为48mm圆形零件可有4个；如若将这块料加工成两个最大圆形零件，并设这时圆半径为R2，那么由对称性知，这两个圆必是△ADB和△DBC的内切圆，则R2==30（mm），所以可以加工直径为60mm的圆形零件2个；所以加工直径为48mm的圆形零件，最能充分利用这块材料．
【解析】
（1）∵ABCD是菱形
∴AC、DB垂直平分
∵sin∠DAC=
即
设DE=3a，则AD=5a
Rt△ADE中
∵DE=3a
∴AD=5a
∴AE==4a
又∵AE，DE是方程x2-140x+k=0的两根，
∴根据根与系数的关系可得：4a+3a=140
解得a=20
∴AD=5a=100

（2）过点M作MF⊥AD于F，过点N作NG⊥CD于G
在Rt△AMF中，
sin∠DAC==
∴FM=t
∵CD=AD，∠DCA=∠DAC
在Rt△CGN中，
sin∠DCA==
∴NC=NG
又AC=2AE=2×4×20=160
∵⊙M与⊙N相外切
∴MN=MF+NG=t+NG
∴t+t+NG+NG=160
解得NG=60-t
根据题意，
S=π（ t）2+π（60-t）2
即S=t2-72πt+3600π

（3）设它的半径为R1，由图形的轴对称性知，圆心必在对角线交点E处，则4S△AED=S菱形ABCD
∴4AD•R1=AC•BD
∴R1==48（mm）
对照条件，则加工成直径为90mm的圆形零件只能加工1个，而加工成直径为48mm圆形零件可有4个．
如若将这块料加工成两个最大圆形零件，并设这时圆半径为R2，那么由对称性知，这两个圆必是△ADB和△DBC的内切圆，则2（ AD•R2+AB•R2+•BD•R2）=AC•BD，
∴R2==30（mm）．
这时正好可加工直径为60mm的圆形零件2个．
如若加工三个最大圆形零件，这时用料不合理，显然不可取．
若加工成4个最大圆形零件，答案前已得出．
如果加工个数更多的话，直径太小，已不合要求．
所以加工直径为48mm的圆形零件，最能充分利用这块材料．