Question

（2001•宁夏）用三种方法证明：如图，已知在⊙O中，半径OA⊥OB，C是OB延长线上一点，AC交⊙O于D，求证：弧AD的度数是∠C的2倍．

Answer

求证：弧AD的度数是∠C的2倍，就是求证∠AOD=2∠C即可．
证明：
证法一：延长AO交圆与点M，连接DM，
∵AM是圆的直径，
∵∠ADM=90°则△OAC与△ADM都是直角三角形，且∠A是公共角，
∴∠M=∠C，而∠AOD=2∠M．
∴∠AOD=2∠C．
∵∠AOD的度数就等于弧AD的度数，
∴弧AD的度数是∠C的2倍．
证法二：连接OD，
在直角△AOC中，∠C=90°-∠A，
在△OAD中，∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO．
∴∠AOD=180-2∠A．
∴∠AOD=2∠C．
∵∠AOD的度数就等于弧AD的度数，
∴弧AD的度数是∠C的2倍．
证法三：延长AO交圆于点N，连接CN，交圆于点M，连接OM、OD，
∵AN⊥OC，OA=ON，
∴AC=CN．
∴∠A=∠N∠ACN=2∠ACO．
∴∠ACN=180-∠A-∠N=180-2∠A．
∵△OAD中OA=OD，
∴∠A=∠ADO=∠N．
∴∠AOD=∠ACN=2∠ACO．
又∵∠AOD的度数就等于弧AD的度数，
弧AD的度数是∠ACO的2倍．