Question

（2001•安徽）如图所示，花园边墙上有一宽为1m的矩形门ABCD，量得门框对角线AC的长为2m．现准备打掉部分墙体，使其变为以AC为直径的圆弧形门，问要打掉墙体的面积是多少？
（精确到0.1m²，π≈3.14，≈1.73）

Answer

设矩形外接圆的圆心为O，作OE⊥BC，垂足为E，连接AC，BD．有AC=2，BC=1，可求AB=，且可得到∠BAC=30°，于是∠ACB=60°，可以知道△OBC是等边三角形，因此OE=．打掉墙体的面积=S⊙O-S矩形-S扇形OBC+S△OBC，计算各部分的面积就可求出．
【解析】
设矩形外接圆的圆心为O，作OE⊥BC，垂足为E，连接AC，BD．
∵矩形ABCD的AC=2m，BC=1m，
∴∠BAD=∠BCD=90°，AB=，
∴AC、BD均为⊙O的直径，
∴⊙O的半径R==1（m），
∵BO=CO=BC=1m，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠BOC=60°．在Rt△OEB中，OB=1（m），∠OBE=60°，，
∴OE=OB•sin∠OBE=（m），
应打掉的墙体面积为S=S⊙O-S矩形ABCD-S扇形OBC+S△OBC
=m2．