Question

（2001•宁波）⊙O₁，⊙O₂，⊙O₃两两外切，切点为A，B，C，它们的半径分别为r₁，r₂，r₃．
（1）若△O₁O₂O₃是直角三角形，r₂：r₃=2：3，用r₂表示r₁；
（2）若△O₁O₂O₃与以A、B、C为顶点的三角形相似，则r₁，r₂，r₃必须满足什么条件？请给出证明．此时若r₁，r₂，r₃的和为3cm，用如图这样一张四边形纸片DEFG，能否剪出一个圆形纸片来完全盖住两两外切的⊙O₁、⊙O₂、⊙O₃这3个圆？如果认为不能，请说明理由；如果认为能，给出这样的圆形纸片的一种剪法（在四边形纸片DEFG上面图表示）

Answer

（1）因为△O1O2O3是直角三角形，根据⊙O1，⊙O2，⊙O3两两外切，得出三边的长度，结合斜边的情况，利用勾股定理用r2表示r1；
（2）r1=r2=r3时，△O1O2O3与以A、B、C为顶点的三角形相似．
【解析】

（1）圆心距分别为r1+r2，r1+r3，r2+r3，r2：r3=2：3，有r3=1.5r2，r1＞r3时，
（r1+r2）2=（r1+r3）2+（r2+r3）2，
解得r1=-7.5r2（不合题意，舍去），
r1≤r3时，（r1+r3）2=（r1+r2）2+（r2+r3）2，
解得r1=5r2；

（2）r1=r2=r3时，△O1O2O3与以A、B、C为顶点的三角形相似，能否剪出一个圆形纸片来完全盖住两两外切的⊙O1、⊙O2、⊙O3这3个圆．