（2001•贵阳）已知：如图，P是等边△ABC外接圆的弧BC上一点，CP的延长线...

（2001•贵阳）已知：如图，P是等边△ABC外接圆的弧BC上一点，CP的延长线和AB的延长线相交于D点，连接BP．
求证：（1）∠D=∠CBP；（2）AC²=CP•CD．

由题意要证角相等，需证三角形相似，根据圆周角定理及等边三角形性质得到相似条件；第二问根据第一问相似三角形条件得出相似比例，从而求解．证明：（1）∵△ABC为等边三角形， ∴∠A=∠ABC=60°． ∴∠DBC=180°-∠ABC=120°． ∵四边形ABPC为圆内接四边形， ∴∠A+∠BPC=180°． ∴∠BPC=120°． ∴∠DBC=∠BPC=120°．又∵∠BCP=∠DCB， ∴△BPC∽△DBC． ∴∠D=∠CBP．（2）由（1）知△BPC∽△DBC， ∴．又∵AC=BC， ∴AC2=CP•CD．

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考点分析：

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（1）求线段OA、OB的长；
（2）已知点C在劣弧OA上，连接BC交OA于D，当OC²=CD•CB时，求C点的坐标；
（3）在（2）问的条件下，在⊙O′上是否存在点P，使S_△POD=S_△ABD？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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试题属性

题型：解答题
难度：中等