Question

（2001•沈阳）已知：如图（1），⊙O₁与⊙O₂相交于A、B两点，经过A点的直线分别交⊙O₁、⊙O₂于C、D两点（C、D不与B重合）．连接BD，过C作BD的平行线交⊙O₁于点E，连接BE．
（1）求证：BE是⊙O₂的切线；
（2）如图（2），若两圆圆心在公共弦AB的同侧，其它条件不变，判断BE和⊙O₂的位置关系；（不要求证明）
（3）若点C为劣弧AB的中点，其它条件不变，连接AB、AE，AB与CE交于点F，如图（3），写出图中所有的相似三角形．（不另外连线，不要求证明）

Answer

（1）要证切线，可过B作⊙O2的直径BH，连接AH，那么证明BH⊥BE即可，根据圆周角定理，可得出∠H=∠D，而根据平行线，可得出∠D=∠ACE=∠ABE，因此∠H=∠ABE，然后两角都加上一个∠BAH后，可得出∠EBH=90°，由此得证；
（2）证法和（1）完全一样，只不过最后根据等角加上一个公共角，得出∠EBH=90°，换成了等角减去一个公共角得出∠EBH=90°，因此结论一样；
（3）由于C是劣弧AB的中点，因此弧AC=弧BC，∠BAC=∠CEA=∠BEC，又由EC∥BD，因此∠ACE=∠D=∠ABE，因此可得出的相似三角形有：△AFC∽△ABD∽△EAC∽△EFB．
（1）证明：过B作⊙O2的直径BH，连接AH，AB则∠BAH=90°，
∵EC∥BD
∴∠ACE=∠D
∵∠H=∠D，∠ACE=∠ABE
∴∠H=∠ABE
∵∠H+∠ABH=90°
∴∠ABH+∠ABE=90°
∴∠EBH=90°，即EB是⊙O2的切线；

（2）【解析】
直线BE与⊙O2相切；

（3）【解析】
△AFC∽△ABD∽△EAC∽△EFB．