Question

（2001•湖州）已知如图，D是边长为4的正△ABC的边BC上一点，ED∥AC交AB于E，DF⊥AC交AC于F，设DF=x．
（1）求△EDF的面积y与x的函数关系式和自变量x的取值范围．
（2）当x为何值时，△EDF的面积最大，最大面积是多少？
（3）若△DCF与由E、F、D三点组成的三角形相似，求BD的长．

Answer

（1）判断出△BDE和△DEF的形状，利用60°的正弦值用DF表示出DC，进而得到BD，DE，利用三角形的面积公式求得函数关系式．
（2）由相似得到△DEF是含30°的直角三角形，可利用所给的2个特殊的直角三角形都用BD表示出DF的长度，然后即可求得BD长．
【解析】
（1）易得△BDE是等边三角形，∠FDC=30°，
∴CD=DF÷sin60°=x．
∠EDF=90°，
BD=BC-CD=ED=4-x．
y=DF×ED÷2=x（4-x）=-x2+2x，
∵D在BC上，
∴CD＜4，
当CD=4时，CF=2，DF=2，
DF≤2（等于2时，D和B重合）
∴自变量x的取值范围0≤x≤2．

（2）当x=，△EDF的面积最大．
最大面积是=．

（3）当△DCF∽△EFD，
∴∠FED=∠FDC=30°．
∴DF=DE=BD．
∵DC=4-BD，∠C=60°，
∴DF=CD=，
∴BD=．
解得：BD=2.4．
当△DCF∽△FED，
同理可得：BD=，
∴BD=或2.4．