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(2001•金华)如图,菱形铁片ABCD的对角线AC,DB相交于点E,,AE、D...

(2001•金华)如图,菱形铁片ABCD的对角线AC,DB相交于点E,manfen5.com 满分网,AE、DE的长是方程x2-140x+k=0的两根.
(1)求AD的长;
(2)如果M,N是AC上的两个动点,分别以M,N为圆心作圆,使⊙M与边从AB、AD相切,⊙N与边BC,CD相切,且⊙M与⊙N相外切,设AM=t,⊙M与⊙N面积的和为S,求S关于t的函数关系式;
(3)某工厂要利用这种菱形铁片(单位:mm)加工一批直径为48mm,60mm,90mm的圆形零件(菱形铁片上只能加工同一直径的零件,不计加工过程中的损耗),问加工哪种零件能最充分地利用这种铁片并说明理由.

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(1)由图可知:AD是Rt△ADE中斜边长,则求AD根据sin∠DAC=,可以求出DE的长,再根据根与系数的关系即可求得DE的长度; (2)分别过点M作MF⊥AD于F,过点N作NG⊥CD于G,在Rt△AMF中,根据sin∠DAC,可以用t来表示FM,再根据∠DCA=∠DAC,则sin∠DAC=sin∠DA,则可以用NG来表示NC.又知⊙M与⊙N相外切,则MN=MF+NG.根据AC=AM+NC+MN,即可求得NG的值,最后用t来表示S; (3)如果将这块科加工成一个最大的圆形零件,设它的半径为R1,由图形的轴对称性知,圆心必在对角线交点E处,则可以求得R1的值,则加工成直径为90mm的圆形零件只能加工1个,而加工成直径为48mm圆形零件可有4个;如若将这块料加工成两个最大圆形零件,并设这时圆半径为R2,那么由对称性知,这两个圆必是△ADB和△DBC的内切圆,则R2==30(mm),所以可以加工直径为60mm的圆形零件2个;所以加工直径为48mm的圆形零件,最能充分利用这块材料. 【解析】 (1)∵ABCD是菱形 ∴AC、DB垂直平分 ∵sin∠DAC= 即 设DE=3a,则AD=5a Rt△ADE中 ∵DE=3a ∴AD=5a ∴AE==4a 又∵AE,DE是方程x2-140x+k=0的两根, ∴根据根与系数的关系可得:4a+3a=140 解得a=20 ∴AD=5a=100 (2)过点M作MF⊥AD于F,过点N作NG⊥CD于G 在Rt△AMF中, sin∠DAC== ∴FM=t ∵CD=AD,∠DCA=∠DAC 在Rt△CGN中, sin∠DCA== ∴NC=NG 又AC=2AE=2×4×20=160 ∵⊙M与⊙N相外切 ∴MN=MF+NG=t+NG ∴t+t+NG+NG=160 解得NG=60-t 根据题意, S=π( t)2+π(60-t)2 即S=t2-72πt+3600π (3)设它的半径为R1,由图形的轴对称性知,圆心必在对角线交点E处,则4S△AED=S菱形ABCD ∴4AD•R1=AC•BD ∴R1==48(mm) 对照条件,则加工成直径为90mm的圆形零件只能加工1个,而加工成直径为48mm圆形零件可有4个. 如若将这块料加工成两个最大圆形零件,并设这时圆半径为R2,那么由对称性知,这两个圆必是△ADB和△DBC的内切圆,则2( AD•R2+AB•R2+•BD•R2)=AC•BD, ∴R2==30(mm). 这时正好可加工直径为60mm的圆形零件2个. 如若加工三个最大圆形零件,这时用料不合理,显然不可取. 若加工成4个最大圆形零件,答案前已得出. 如果加工个数更多的话,直径太小,已不合要求. 所以加工直径为48mm的圆形零件,最能充分利用这块材料.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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